CALCULADORA DE MATRICES

Una calculadora sobre ℤ/Nℤ

Cada valor del espacio de trabajo es un entero reducido módulo N. Elige N, construye matrices con la forma que necesites (de 1×1 hasta 6×6) y selecciona una operación. El resultado puede ser un escalar, una matriz o — en el caso de sistemas lineales — una respuesta estructurada con el espacio de soluciones.

La calculadora no es solo un evaluador: está diseñada para encadenar cálculos. Cualquier resultado puede guardarse en uno de cinco slots (S0 … S4). Un slot ya guardado se puede usar en una matriz posterior como:

• Sk — sustituye el escalar completo (solo si el slot guarda un escalar),
• Sk[i, j] — sustituye una única celda de una matriz guardada (índices desde 0).

Es el mismo ciclo mental que usas en papel: calculas un intermedio (por ejemplo el inverso del determinante), le pones nombre y lo vuelves a meter sin reescribir nada.

Pivotes por unidad

Sobre los reales, todo elemento no nulo tiene inverso. Sobre ℤ/Nℤ solo lo tienen las unidades — enteros a con gcd(a, N) = 1. Ese único hecho controla todo lo demás.

Concepto	Sobre ℝ	Sobre ℤ/Nℤ
Escalar fila	dividir por cualquier pivote no nulo	el pivote debe ser unidad
Invertibilidad	det A ≠ 0	gcd(det A, N) = 1
RREF único	siempre	solo si N es primo
Rango	bien definido	bien definido con N primo; cuidado si no

Cuando N es primo, ℤ/Nℤ es cuerpo y todo se comporta como en álgebra lineal clásica. Cuando N es compuesto aparecen divisores de cero y la calculadora te avisa explícitamente: los resultados de RREF, rango y núcleo pueden depender de qué pivote elijas.

Inversa por la adjunta

Para una matriz cuadrada A con gcd(det A, N) = 1:

A⁻¹ ≡ (det A)⁻¹ · adj(A)   (mod N)

La adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores. La calculadora computa ambas y muestra la expansión por cofactores paso a paso. El inverso modular del determinante es exactamente el Algoritmo Euclideano Extendido de la Práctica 01 — la misma herramienta, aplicada a un único número en lugar de a un par.

Ejemplo trabajado (Hill 2×2 mod 26)

Toma K = [[3, 3], [2, 5]] sobre el alfabeto latino (N = 26):

1. det K = 3·5 − 3·2 = 9
2. gcd(9, 26) = 1 → es invertible.
3. 9⁻¹ ≡ 3 (mod 26) (porque 9·3 = 27 ≡ 1).
4. adj K = [[5, −3], [−2, 3]] ≡ [[5, 23], [24, 3]] (mod 26)
5. K⁻¹ ≡ 3 · [[5, 23], [24, 3]] ≡ [[15, 17], [20, 9]] (mod 26)

Verifica: K · K⁻¹ ≡ I₂ (mod 26).

Matrices no cuadradas

det, adj, A⁻¹ y Aᵖ solo tienen sentido sobre cuadradas. Todo lo demás funciona con cualquier forma m × n. La pieza central para cubrir este caso es RREF:

• rref(A) — forma escalonada reducida por filas. Los pivotes se eligen entre las unidades; si no hay unidad en una columna, se deja sin pivote (con advertencia).
• rank(A) — número de columnas pivote de rref(A).
• solve Ax = b — ejecuta RREF sobre [A | b] y reporta:
  • consistencia (ausencia de pivote en la columna aumentada),
  • una solución particular (variables libres = 0),
  • una base homogénea (un vector por columna libre).
• A⁻¹ right — una inversa por la derecha X con A · X = Iₘ. Existe si m ≤ n y las filas de A son linealmente independientes. Se calcula columna a columna resolviendo A · xⱼ = eⱼ.
• A⁻¹ left — una inversa por la izquierda Y con Y · A = Iₙ. Se obtiene como (Aᵀ inversa por la derecha)ᵀ.

Encadenar con slots — el flujo Hill

El banco de slots es el motivo principal de esta práctica. Una sesión típica:

1. Introduce la clave K en la matriz A.
2. Elige det A, pulsa Compute y Save → S0. El slot S0 guarda det K mod N.
3. Construye una matriz 1×1 que contenga S0, elige A⁻¹ (con N pequeño), o bien elige directamente A⁻¹ sobre K — la traza te muestra el determinante, su inverso y la adjunta en un solo paso.
4. Toda matriz intermedia puede guardarse en S1, S2, … y referenciarse más tarde como S1 (completa) o S1[i, j] (una celda).

La ganancia: no vuelves a teclear ningún número. Cada derivación de varios pasos se reduce a una secuencia corta de operaciones cuyos operandos son literales o intermedios con nombre.

La traza

Cada operación devuelve una traza estructurada: operaciones de fila (intercambio / escala / eliminación), colocación de pivote, expansiones por cofactor y notas en texto libre. La UI las muestra en orden bajo el resultado para que sigas la derivación — el mismo espíritu que el writeup del cifrado afín, extendido a matrices.

Código Rust

La lógica vive en crates/matrix/ y expone una única función op(request_json) vía wasm-bindgen. La petición es una unión etiquetada sobre las operaciones:

#[derive(Deserialize)]
pub struct OpRequest {
    pub kind: String,   // "add", "mul", "inv", "rref", "solve", ...
    pub n: i64,
    pub a: Option<Matrix>,
    pub b: Option<Matrix>,
    pub k: Option<i64>,
    pub p: Option<u64>,
    pub row_sel: Option<Vec<usize>>,
    pub col_sel: Option<Vec<usize>>,
}

RREF es el workhorse: pivotea primero por unidades, cae a cualquier entrada no nula con advertencia y emite cada operación de fila en la traza.

fn op_rref(a: &Matrix, n: i64, trace: &mut Vec<Step>, warnings: &mut Vec<String>)
    -> (Matrix, Vec<usize>);

La inversión va por el camino de la adjunta para que la traza muestre la expansión por cofactores directamente:

A⁻¹ = (det A)⁻¹ · adj(A)   (mod N)

Resolver Ax = b, las inversas unilaterales y el rango todos llaman a RREF por dentro.

Límites de implementación

• Dimensiones acotadas a 6×6 en la UI para que la traza siga siendo legible.
• Potencias acotadas a 10 000 — la exponenciación rápida es O(log p) multiplicaciones, pero la traza se vuelve ilegible más allá.
• Los módulos compuestos emiten advertencia pero no se rechazan. Es intencional: ver exactamente dónde un N compuesto rompe la unicidad es parte de la lección.